欧拉图:欧拉图是一笔画出的边不重复的回路.
1. 定义
2. 无向欧拉图的判别法
定理15.1
无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点
.
定理15.2
无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度
数顶点.
3.有向欧拉图的判别法
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度.
定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的,且D中恰有两个奇度顶点,其中一个的入度比出度大1,另一个的出度比入度大1,而其余顶点的入度都等于出度.
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈之并.
4. Fleury算法
哈密顿图
1. 定义:哈密顿图是周游世界问题.
2. 无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V, E>是哈密顿图,对于任意V1ÌV且V1¹Æ,均有
p(G-V1) £ |V1|
推论 设无向图G=<V, E>是半哈密顿图,对于任意的V1ÌV且V1 ¹ Æ,均有
p(G-V1) £ |V1|+1
3.无向哈密顿图的一个充分条件
定理15.7 设G是n阶无向简单图,若对于任意不相邻的顶点vi, vj,均有
d(vi)+d(vj) ³ n-1 (*)
则G中存在哈密顿通路.
推论 设G为n(n³3)阶无向简单图,若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj,均有
d(vi)+d(vj) ³ n (**)
则G中存在哈密顿回路,从而G为哈密顿图.
定理15.8 设u,v为n阶无向简单图G中两个不相邻的顶点,且d(u)+d(v)³n,则G为哈密顿图当且仅当GÈ(u,v)为哈密顿图.
4.n(n³2)阶竞赛图中存在哈密顿通路
定理15.9 若D为n(n³2)阶竞赛图,则D中具有哈密顿通路
几点说明:
Ø规定平凡图为欧拉图也是哈密顿图;
Ø欧拉通路是生成的简单通路,欧拉回路是生成的简单回路. 而哈密顿通路是初级通路,哈密顿回路是初级回路;
Ø环不影响图的欧拉性也不影响哈密顿性,平行边不影响哈密顿性;
Ø哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上。
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